Se pueden estudiar patrones muy sutiles y probar algunos teoremas sorprendentes sobre ellos. Un ejemplo de tales teoremas se debe a Frank P. Ramsey:
Supongamos que 6 personas se encuentran en una fiesta. Cada par de personas o bien se conocen previamente, o bien no se conocen. En todo caso, siempre se pueden encontrar 3 de esas 6 personas que o bien se conocen todos entre sí, o bien ninguna conoce a las otras dos.
La demostración se procede por reducción al absurdo: supongamos que no hay 3 personas que cumplan lo que afirma el teorema. Consideremos cualquier persona de las 6 que van a la fiesta y llamémosla A. De entre las 5 personas restantes tiene que haber 3 que, o bien conocen a A (y A las conoce a ellas), o bien no la conocen. Sin pérdida de generalidad supondremos que hay 3 personas que conocen a A. Pero entonces, de entre esas 3 personas debe haber al menos 2 que se conozcan entre sí (de lo contrario ya habría 3 personas que no se conocen entre sí). Pero entonces, esas dos personas y A son 3 personas que se conocen entre sí. (Este es un caso especial del teorema de Ramsey).
Se puede conseguir una demostración alternativa mediante doble recuento: se cuentan el número de tripletas ordenadas de personas (A, B, C), en las que las personas A y B se conocen, pero no B y C. Supongamos que la persona K conoce a k de las otras 5. Entonces es la persona B de exactamente k*(5-k) tripletas (A debe ser una de las k personas que conoce y C una de las 5-k que no conoce). Por lo tanto, es la persona B de 0*5=0, 1*4=4, 2*3=6, 3*2=6, 4*1=4 ó 5*0=0 tripletas. Es decir, que una persona podrá participar en una tripleta en la posición B a lo sumo 6 veces y como hay 6 personas, entoces, hay como mucho 36 tripletas.
Considérense ahora 3 personas de las que exactamente 2 de ellas se conocen entre sí. Está claro que podemos formar con ellas dos tripletas distintas: tomando como C la que es desconocida, y poniendo las otras dos en lugar de A y B de las dos formas en que esto puede hacerse. Del mismo modo, si exactamente 2 parejas se conocen entre sí, también se pueden organizar en una tripleta de dos formas distintas: se toma como A la persona que los otros dos conocen, y las otras se colocan como B y C de las dos maneras en que esto es posible. Hay, por lo tanto, como mucho 36/2=18 tripletas en las que exactamente una pareja o dos parejas se conocen entre sí. Como hay en total 20 tripletes posibles, debe haber al menos 2 de ellos en los que o bien se conocen todos, o bien todos son desconocidos entre sí.
La idea de encontrar un orden en configuraciones aleatorias da lugar a la teoría de Ramsey. Esencialmente, esta teoría afirma que cualquier configuración suficientemente grande contendrá al menos un caso de cualquier otro tipo de configuración.

ATTE:
sandra lizbeth martinez lópez.